学霸来了:人在什么条件下可以永生

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概率量化了一件事情发生的可能性。而条件概率嘛,比如说,你家楼下住了一位每天慢跑10公里的爷爷,那么他能顺利切到70岁蛋糕的概率,铁定比台湾人平均能活到70岁的概率大上许多,因为健康的他只要再活一天就可以了。

给定某个条件下某个事件发生的可能性,即称为条件概率。

 

如果还不清楚,请想像这样的场景:

 

那是一个星期五的傍晚,珮颖独自走在夕阳下。在她转入小巷子时,她突然看到一位男子向她招手。还没反应过来,珮颖听见身后引擎声响。回头一看,一台老旧的汽车正要通过。珮颖赶紧让到一边。汽车卷起灰尘离去,男子挥挥手咳了几声。珮颖这下看清楚他身上的工作证了。

 

那年珮颖25岁,子威29岁。距离台湾男女平均寿命,各自还有57年与47年。

 

星期五傍晚,珮颖在夕阳下踱步,落日的余温被玻璃隔绝在外,窗户这侧只剩冰冷的空调,医疗仪器的声响替时间画下一道道刻度。珮颖坐回病床旁,子威伸过手来握住珮颖,两人相视微笑。

 

“50年了,这一切过得真快。”

 

这一年,珮颖75岁,距离台湾女性平均寿命还有7年;子威79岁,超过男性平均寿命3年。

 

“这几年辛苦你了。”

 

子威拿下氧气罩,气若游丝,距离诊断出癌症的那天到现在过了7年,前天他才刚从加护病房出来。

 

“你才辛苦,已经超过平均寿命3年了,你做的很棒。”

 

珮颖开玩笑地说。子威摇摇头,眼神望向床头柜上的笔记本,珮颖替他拿过来,里面满满的数学式子。

 

“还没,我还没赢过我这年纪的预期平均寿命。”

 

“你这年纪的平均寿命?”

 

子威休息了一下,一个字一个字慢慢说。

 

“我后来才知道,平常说的是平均寿命是指’刚出生时所预期的平均寿命’,是最短的预期平均寿命。随着年纪增长,我们预期能够活的平均寿命就会慢慢变长。”

 

“为什么?”

 

“举个例子来说,4个同时出生的人,各自活到4岁、10岁、60岁、70岁。这样平均寿命是几岁?”

 

“36岁。”

 

“5岁时,剩下3个人,这3人的平均寿命是46.7岁。换句话说,给定活到5岁时,平均寿命从刚出生的36岁,提升到46.7岁。增加了10.7年。”

 

“听起来有点像条件概率?”珮颖回答。

 

他们夫妻的数学都不错。

 

“年纪越大,样本空间里年轻早逝的人被排除在外,我们预期他们能够活的平均寿命就会越来越长。假设y是表示寿命的随机变数,则x岁时的寿命期望值为……”

 

笔记本上写着:

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“其中,P(y|x)是指给定x岁的人,寿命为y岁的条件概率。只要活到40岁,能活到70岁的概率就会比20岁时能活到70岁的概率更大。用数学式子表示是P(y=70|x=40)> P(y=70|x=20)。”

 

子威接过笔记本,翻页又是一大堆算式:

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“我们再来定义一个’x岁的平均剩余寿命’,意思是x岁的人平均还能再活几年。它的数学式子是,”他指着第二个加总符号说:“取k’=k+1,可以得到结果为……”

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“换句话说,x岁的平均剩余寿命,就是把’给定x岁后,还会活k年的概率’,从k=1到k=∞累加起来。”

 

子威笑了,那笑容像在草地里捡到弹珠的小男孩,跑回来跟朋友炫耀的表情。

 

“我查过了台湾官方的国民寿命表。在我这年纪的男性……竟然平均剩余寿命还有8.3年。照你的标准来要求,我还有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。”

 

“那就辛苦你了,请再为了我多活几年。”

 

当晚半夜,子威紧急被送回加护病房。凌晨,珮颖签下放弃急救同意书。

 

星期五傍晚,珮颖站在夕阳下。

 

应该不可能习惯身边没有子威吧……不,不是不可能习惯,是我不希望习惯。

 

“奶奶你还好吗?”

 

“奶奶你搬过来跟我们住好了。”

 

孙女试探性地问。珮颖知道孙女担心独居的自己触景生情。“你放心,奶奶很坚强,可以照顾好自己,还能活很多年的。你爷爷教过我一套观念……”

 

珮颖向孙女解释起应用到条件概率的平均剩余寿命:“照你爷爷的说法,我还有11年好活。太早去铁定会挨你爷爷骂的。”

 

一旁还在念高中的小孙子插嘴说道:

 

“可是奶奶,这观念有点奇怪,因为概率恒正,不管到几岁,平均剩余寿命永远是正的,表示当下的预期平均寿命永远会大于当下的年纪,那不就是说,人类可以永远活下去……”

 

的确,这听起来有点像芝诺悖论:乌龟跟阿基里斯赛跑,每当阿基里斯快要追上乌龟,乌龟都会趁着阿基里斯追赶所花的时间,再往前移动一点,阿基里斯又得再追赶。不论靠多近,乌龟永远有一小段时间可以再前进,阿基里斯永远追不上乌龟。

 

小孙子没说错,给定现在的年龄,只要没破人瑞(常指年纪100岁以上的人)纪录,永远有人活得更久。平均剩余寿命永远大于零,永远可以活下去。

 

但跟芝诺悖论不一样,芝诺悖论有数学上的问题;剩余寿命的观念尽管看起来不合理,但在数学上完全正确,没有漏洞。剩余寿命永远恒正,但那终究只是期望值,还是会有很多人在没活到那年纪之前就先离开。

 

这是体贴的子威留给她最后的礼物,一道用完美数学构成的甜言蜜语。

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